Question

1．解下列不等式：
（1）（x-1）（x²-5x+6）（x²-x-2）²＜0；
（2）（x²-1）（x+1）（x+2）≥0；
（3）（1-x）（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x+1）（x-2）≥0；
（4）（x+1）（x-2）²＞0．

Answer 1

分析 分别对（1），（2），（3），（4）各个不等式解出即可．

解答 解：（1）由（x²-x-2）²＞0，解得：x≠2且x≠-1，
当x≠2且x≠-1时：
不等式可化为：
（x-1）（x-2）（x-3）＜0，
①x＜1且x≠-1时，x-1＜0，x-2＜0，x-3＜0，
∴（x-1）（x-2）（x-3）＜0，成立，
②1＜x＜2时：x-1＞0，x-2＜0，x-3＜0，
∴（x-1）（x-2）（x-3）＞0，
③2＜x＜3时：x-1＞0，x-2＞0，x-3＜0，
∴（x-1）（x-2）（x-3）＜0，
④x＞3时：x-1＞0，x-2＞0，x-3＞0，
∴（x-1）（x-2）（x-3）＞0，
综上：不等式的解集是：{x|x＜1且x≠-1或2＜x＜3}；
（2）不等式可化为：
（x+1）²（x-1）（x+2）≥0，
x=-1时：0=0成立，
x≠-1时：不等式可化为：
（x-1）（x+2）≥0，解得：x≥1或x≤-2，
故不等式的解集是：{x|x≥1或x≤-2或x=-1}；
（3）不等式可化为：
（x-1）（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x+1）（x-2）≤0，
①x＜-1时：（x-1）（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x+1）（x-2）＞0，不成立；
②-1≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$时：
x+1≥0，x-$\frac{\sqrt{2}}{x}$≤0，x-1＜0，x-2＜0，
∴（x-1）（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x+1）（x-2）≤0，成立；
③$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜1时：
x+1＞0，x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，x-1＜0，x-2＜0，
∴（x-1）（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x+1）（x-2）＞0，不成立；
④1≤x≤2时：
（x-1）＞0，（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）＞0，（x+1）≥0，（x-2）≤0，
∴（x-1）（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x+1）（x-2）≤0，成立；
⑤x＞2时：
（x-1）＞0，（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）＞0，（x+1）＞0，（x-2）＞0，
∴（x-1）（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x+1）（x-2）＞0，不成立，
综上：不等式的解集是：{x|-1≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1≤x≤2}；
（4）不等式（x+1）（x-2）²＞0可化为：
$\left\{\begin{array}{l}{x-2≠0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$，解得：x＞-1且x≠2，
故不等式的解集是：{x|x＞-1且x≠2}．

点评 本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．