Question

2．已知函数f（x）=$\frac{{ax}^{2}+bx}{x+2}$，函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是5x-4y+2=0．
（1）求a，b的值；
（2）设g（x）=ln（x+2）-mf（x）-ln2，若当x∈[0，+∞）时，恒有g（x）≤0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是5x-4y+2=0，建立方程组，即可求a，b的值；
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x}{x+2}$，g（x）=ln（x+2）-m$\frac{{x}^{2}+4x}{x+2}$-ln2（x＞-1），求导函数，构建新函数h（x）=-mx²+（1-4m）x+2-8m，分类讨论，确定g（x）在[0，+∞）上的单调性，即可得到结论．

解答 解：（1）求导函数，可得f′（x）=$\frac{（2ax+b）（x+2）-（a{x}^{2}+bx）}{（x+2）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+4ax+2b}{（x+2）^{2}}$．
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是5x-4y+2=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=3}\\{f′（2）=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a+b}{2}=3}\\{\frac{6a+b}{8}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=4；
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x}{x+2}$，
∴g（x）=ln（x+2）-m$\frac{{x}^{2}+4x}{x+2}$-ln2（x＞-1），
则g′（x）=$\frac{-m{x}^{2}+（1-4m）x+2-8m}{（x+2）^{2}}$，
令h（x）=-mx²+（1-4m）x+2-8m，
当m=0时，h（x）=x+2，在x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设；
当m＜0时，∵-$\frac{1-4m}{-2m}$=$\frac{1}{2m}-2＜0$且h（0）=2-8m＞0，
∴x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设；
当0＜m＜$\frac{1}{4}$时，则△=（1-4m）²+4m（2-8m）=1-16m²＞0，
由h（x）=0得，${x}_{1}=\frac{4m-1-\sqrt{1-16{m}^{2}}}{-2m}$＞0，${x}_{2}=\frac{4m-1+\sqrt{1-16{m}^{2}}}{-2m}$＜0．
则x∈[0，x₁）时，h（x）＞0，g′（x）＞0即g（x）在[0，x₁）上是增函数，则g（x₂）≥g（0）=0，不满足题设；
当m≥$\frac{1}{4}$时，△=（1-4m）²+4m（2-8m）=1-16m²≤0，h（x）≤0，g′（x）≤0，即g（x）在[0，+∞）上是减函数，则g（x）≤g（0）=0，满足题设．
综上所述，m∈[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键，是压轴题．