Question

设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）-ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  e

  ）
• B、（

  ln3

  3

  ，e）
• C、（0，

  ln3

  3

  ]
• D、[

  ln3

  3

  ，

  1

  e

  ）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．

解答： 解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：

当a≤0时，显然，不合乎题意，
当a＞0时，如图示，
当x∈（0，1]时，存在一个零点，
当x＞1时，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
若g′（x）＜0，可得x＞

1

a

，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜

1

a

，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，
∴

g( 1 a )＞0 g(3)≤0 g(1)≤0

 解得，

ln3

3

≤a＜

1

e

，
在区间（0，3]上有三个零点时，
 

ln3

3

≤a＜

1

e

，
故选D．

点评：本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．