Question

19．已知函数f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若a＞1，求证：存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞a．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），令f′（x）=0，解出极值点，得出极值；
（2）令g（a）等于f（x）的极大值与a的差，使用导数证明f（x）的极大值大于a即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，即1-a-lnx=0，解得x=e^1-a．
当0＜x＜e^1-a时，f′（x）＞0，当x＞e^1-a时，f′（x）＜0．
∴当x=e^1-a时，f（x）取得极大值f（e^1-a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}$．
（2）令g（a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}$-a，则g′（a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}-1$．
∵a＞1，∴0＜e^1-a＜1，∴g′（a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}-1$＞0．
∴g（a）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（a）＞g（1）=0，
∴当a＞1时，g（a）＞0，即$\frac{1}{{e}^{1-a}}$＞a．
∴当a＞1时，f（x）的极大值f（e^1-a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}$＞a．
∴当a＞1时，存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞a．

点评 本题考查了导数与函数的单调性，极值的关系，属于中档题．