Question

9．在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知A=$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{11}{14}$．
（Ⅰ） 求cosC的值；
（Ⅱ） 若BC=7，D为AB的中点，求CD的长．

Answer 1

分析 （I）由B的余弦值可以求得其正弦值，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理求出cosC的值即可；
（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，利用正弦定理即可求得AB的长，再在三角形BCD中运用余弦定理即可求得CD的值．

解答 （Ⅰ） 解：因为cosB=$\frac{11}{14}$，B∈（0，π），
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{121}{196}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
所以cosC=cos（$\frac{2}{3}π$-B）=cos$\frac{2}{3}π$cosB+sin$\frac{2}{3}π$sinB=-$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{14}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{7}$．
（Ⅱ） 解：由（Ⅰ）可得sinC=$\sqrt{1-co{{s}^{2}C}^{\;}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{49}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}$，即$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AB}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$，解得AB=8．
在△BCD中，BD=4，由余弦定理得CD²=4²+7²-2×4×7×$\frac{11}{14}$=21，
所以CD=$\sqrt{21}$．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．