Question

11．已知集合M={x|y=lgx}，若a，b∈M且4a+b=3，则e${\;}^{\frac{1}{a}}$•e${\;}^{\frac{1}{b}}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． e³
• C． 4
• D． e⁴

Answer 1

分析 利用指数的运算法则化简求解，利用基本不等式求解即可．

解答 解：集合M={x|y=lgx}，若a，b∈M，可知a，b∈R⁺，
4a+b=3，则e${\;}^{\frac{1}{a}}$•e${\;}^{\frac{1}{b}}$=${e}^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（4a+b）=$\frac{1}{3}$（5+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$）≥$\frac{1}{3}$（5+2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{4a}{b}}$）=3，当且仅当b=2a=1是取等号．
可得e${\;}^{\frac{1}{a}}$•e${\;}^{\frac{1}{b}}$的最小值为：e³．
故选：B．

点评 本题考查基本不等式的应用，最值的求法，考查计算能力．