Question

2．已知等比数列{a_n}的首项为3，且对任意正整数n都有$\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{3}^{4n-1}}{{3}^{2n-1}}$，则数列{a_n}的公比=9；a₄=2187；数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{3}{8}$×（9ⁿ-1）．

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式及两项间的关系式可求得数列{a_n}的公比、a₄及数列{a_n}的前n项和为S_n．

解答 解：设首项为3的等比数列{a_n}的公比为q，
则$\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}$=qⁿ=$\frac{{3}^{4n-1}}{{3}^{2n-1}}$=3²ⁿ=9ⁿ，
∴q=9；
∴a₄=3×9³=2187；
数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{3×（1-{9}^{n}）}{1-9}$=$\frac{3}{8}$×（9ⁿ-1）．
故答案为：9；2187；$\frac{3}{8}$×（9ⁿ-1）．

点评 本题考查等比数列的通项公式、求和公式及两项间的关系式的应用，考查推理与运算能力，属于中档题．