Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．
（1）求证：AP∥平面MBD；
（2）若AD=PD，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，相交于点O，连接OM．利用三角形中位线定理可得：AP∥OM，再利用线面平行的判定定理即可得出．
（2）由PD⊥平面ABCD，可得：∠PBD为直线PB与平面ABCD所成角．在Rt△PBD中，tan∠PBD=$\frac{PD}{BD}$，即可得出．

解答 （1）证明：连接AC，BD，相交于点O，连接OM．
则点O为AC的中点，又M为PC中点．
∴AP∥OM，
又AP?平面MBD，OM?平面MBD，
∴AP∥平面MBD．
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，
∴∠PBD为直线PB与平面ABCD所成角．
不妨设AB=1，
则PD=1，BD=$\sqrt{2}$．
在Rt△PBD中，tan∠PBD=$\frac{PD}{BD}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．