Question

14．已知3tan$\frac{α}{2}$+tan²$\frac{α}{2}$=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 3tan$\frac{α}{2}$+tan²$\frac{α}{2}$=1，利用倍角公式可得tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$．由sinβ=3sin（2α+β），变形为：sin[（α+β）-α]=3sin[（α+β）+α]，展开即可得出．

解答 解：∵3tan$\frac{α}{2}$+tan²$\frac{α}{2}$=1，∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
∵sinβ=3sin（2α+β），
∴sin[（α+β）-α]=3sin[（α+β）+α]，
展开：sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，
化为：tan（α+β）+2tanα=0，
则tan（α+β）=-2tanα=-$\frac{4}{3}$．
故答案为：-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了倍角公式、和差关系，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．