Question

5．已知抛物线C：y²=4x上一点M（4，-4），点A，B是抛物线C上的两动点，且$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=0，则点M到直线AB的距离的最大值是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设直线AB的方程与抛物线方程联立，利用$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=0，结合韦达定理，即可证明直线AB过定点，并可求出定点的坐标，再由当MC垂直于直线AB时，点M到直线AB距离取得最大值，求出即可．

解答 解：设直线AB的方程为x=my+n，点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入抛物线方程，消x得y²-4my-4n=0，
由△＞0，得m²+n＞0，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4n，
∵$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=0，
∴（x₁-4）（x₂-4）+（y₁+4）（y₂+4）=0，
∴（y₁+4）（y₂+4）[（y₁-4）（y₂-4）+16]=0，
∴（y₁+4）（y₂+4）=0或（y₁-4）（y₂-4）+16=0．
∴n=4m+4或n=-4m+8，∵△＞0恒成立，∴n=-4m+8，
∴直线AB的方程为x-8=m（y-4），
∴直线AB过定点C（8，4），
当MC垂直于直线AB时，点M到直线AB距离取得最大值，且为$\sqrt{（8-4）^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决的巧妙之处在于直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式，同时考查点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．