Question

20．已知{a_n}是等比数列，前n项和为S_n（n∈N^*），且$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{{a}_{3}}$，S₆=63．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，b_n是log₂a_n和log₂a_n+1的等差中项，求数列{（-1）ⁿb${\;}_{n}^{2}$}的前2n项和．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a₁，得出通项公式；
（2）利用对数的运算性质求出b_n，使用分项求和法和平方差公式计算．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，则$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}q}$=$\frac{2}{{a}_{1}{q}^{2}}$，即1-$\frac{1}{q}$=$\frac{2}{{q}^{2}}$，
解得q=2或q=-1．
若q=-1，则S₆=0，与S₆=63矛盾，不符合题意．∴q=2，
∴S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{6}）}{1-2}$=63，∴a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）∵b_n是log₂a_n和log₂a_n+1的等差中项，
∴b_n=$\frac{1}{2}$（log₂a_n+log₂a_n+1）=$\frac{1}{2}$（log₂2^n-1+log₂2ⁿ）=n-$\frac{1}{2}$．
∴b_n+1-b_n=1．
∴{b_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，以1为公差的等差数列．
设{（-1）ⁿb_n²}的前2n项和为T_n，则
T_n=（-b₁²+b₂²）+（-b₃²+b₄²）+…+（-b_2n-1²+b_2n²）
=b₁+b₂+b₃+b₄…+b_2n-1+b_2n
=$\frac{{b}_{1}+{b}_{2n}}{2}•2n$=$\frac{\frac{1}{2}+2n-\frac{1}{2}}{2}•2n$
=2n²．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．