Question

12．已知（x+1）²（x+2）²⁰¹¹=a₀+a₁（x+2）+a₂（x+2）²+…+a₂₀₁₃（x+2）²⁰¹³，求$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$的值．

Answer 1

分析 利用二项式定理，对等式中的x赋值-2，可求得a₀=0，再令x=-$\frac{3}{2}$，即可求得$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$的值．

解答 解：∵（x+1）²（x+2）²⁰¹¹=a₀+a₁（x+2）+a₂（x+2）²+…+a₂₀₁₃（x+2）²⁰¹³，
∴令x=-2，得：a₀=0；
再令x=-$\frac{3}{2}$，得：a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$=（-$\frac{3}{2}$+1）²（-$\frac{3}{2}$+2）²⁰¹¹=${（\frac{1}{2}）}^{2013}$，而a₀=0，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$=（-$\frac{3}{2}$+1）²（-$\frac{3}{2}$+2）²⁰¹¹=${（\frac{1}{2}）}^{2013}$．

点评 本题考查二项式定理的应用，观察等式的特点后对变量x赋值是解决问题的关键，属于中档题．