Question

7．设f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）² =2$\sqrt{3}$sin²x-1+sin2x=2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$-1+sin2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$-1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-1的图象；
再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+$\sqrt{3}$-1的图象，
∴g（$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$-1=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．