Question

19．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a，b，c成等差数列，则角B的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{π}{4}$]
• B． （0，$\frac{π}{3}$]
• C． （0，$\frac{π}{2}$]
• D． （$\frac{π}{2}$，π）

Answer 1

分析 由a，b，c成等差数列，根据等差数列的性质得到2b=a+c，解出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把b的式子代入后，合并化简，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围以及余弦函数的单调性，再利用特殊角三角函数值即可求出B的取值范围．

解答 解：由a，b，c成等差数列，得到2b=a+c，即b=$\frac{a+c}{2}$，
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}$≥$\frac{6ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），且余弦在（0，π）上为减函数，
∴角B的范围是：0＜B≤$\frac{π}{3}$，即为：（0，$\frac{π}{3}$]．
故选：B．

点评 此题主要考查了等差数列的性质，余弦定理，基本不等式的运用，以及余弦函数的图象与性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，熟练掌握余弦定理及等差数列的性质是解本题的关键，属于中档题．