Question

9．已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=|2x-1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，由已知得|2x-2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．
（2）由f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3，得|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{a}{2}$|≥$\frac{3-a}{2}$，由此能求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=|2x-2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x-2|+2≤6，
|2x-2|≤4，|x-1|≤2，
∴-2≤x-1≤2，
解得-1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}．
（2）∵g（x）=|2x-1|，
∴f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3，
2|x-$\frac{1}{2}$|+2|x-$\frac{a}{2}$|+a≥3，
|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{a}{2}$|≥$\frac{3-a}{2}$，
当a≥3时，成立，
当a＜3时，|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{a}{2}$|≥$\frac{1}{2}$|a-1|≥$\frac{3-a}{2}$＞0，
∴（a-1）²≥（3-a）²，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．