Question

4．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|²=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F₁、F₂构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，
利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；
（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=$\sqrt{2}$y，把椭圆E变为圆E′，利用圆幂定理求出λ的值，
从而证明命题成立．
【解法二】设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，
再根据参数的几何意义求出|PT|²、|PA|和|PB|，由|PT|²=λ|PA|•|PB|求出λ的值．

解答 解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c＞0，
则c²+b²=a²；
由题意，△F₁F₂C为直角三角形，
∴${{{|F}_{1}F}_{2}|}^{2}$=${{|F}_{1}C|}^{2}$+${{|F}_{2}C|}^{2}$，解得b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1；
代入直线l：y=-x+3，可得3x²-12x+18-2b²=0，
又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=12²-4×3（18-2b²）=0，解得b²=3，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
由b²=3，解得x=2，则y=-x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；
（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=$\sqrt{2}$y，
则椭圆E变为圆E′：x′²+y′²=6，
设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′，
如图所示；

则$\frac{{|P′T′|}^{2}}{{|PT|}^{2}}$=$\frac{1{+2×（-1）}^{2}}{1{+（-1）}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
$\frac{|P′A′|•|P′B′|}{|PA|•|PB|}$=$\frac{1+2{×（\frac{1}{2}）}^{2}}{1{+（\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{6}{5}$，
两式相比，得$\frac{{|P′T′|}^{2}}{{|PT|}^{2}}$：$\frac{|P′A′|•|P′B′|}{|PA|•|PB|}$=$\frac{5}{4}$，
由圆幂定理得，|P′T′|²=|P′A′|•|P′B′|，
所以$\frac{{|PT|}^{2}}{|PA|•|PB|}$=$\frac{4}{5}$，即λ=$\frac{4}{5}$，原命题成立．
【解法二】设P（x₀，3-x₀）在l上，由k_OT=$\frac{1}{2}$，l′平行OT，
得l′的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x{=x}_{0}+2t}\\{y=3{-x}_{0}+t}\end{array}\right.$，
代入椭圆E中，得${{（x}_{0}+2t）}^{2}$+2${（3{-x}_{0}+t）}^{2}$=6，
整理得2t²+4t+${{x}_{0}}^{2}$-4x₀+4=0；
设两根为t_A，t_B，则有t_A•t_B=$\frac{{{（x}_{0}-2）}^{2}}{2}$；
而|PT|²=${（\sqrt{{{（x}_{0}-2）}^{2}{+（3{-x}_{0}-1）}^{2}}）}^{2}$=2${{（x}_{0}-2）}^{2}$，
|PA|=$\sqrt{{{[（x}_{0}+{2t}_{A}）{-x}_{0}]}^{2}{+[（3{-x}_{0}{+t}_{A}）-（3{-x}_{0}）]}^{2}}$=|$\sqrt{5}$t_A|，
|PB|=$\sqrt{{[{（x}_{0}+{2t}_{B}）{-x}_{0}]}^{2}{+[（3{-x}_{0}{+t}_{B}）-（3{-x}_{0}）]}^{2}}$=|$\sqrt{5}$t_B|，
且|PT|²=λ|PA|•|PB|，
∴λ=$\frac{{|PT|}^{2}}{|PA|•|PB|}$=$\frac{{2{（x}_{0}-2）}^{2}}{{\frac{5}{2}{（x}_{0}-2）}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
即存在满足题意的λ值．

点评 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．