Question

12．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，（$\sqrt{3}$+1）a+2ccosA=2csinA+2b．
（1）求角C的值；
（2）若C＜$\frac{π}{4}$，c=2（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），且△ABC的面积为4，求a、b．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简进行求解即可．
（2）根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程组关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵（$\sqrt{3}$+1）a+2ccosA=2csinA+2b．
∴由正弦定理得（$\sqrt{3}$+1）sinA+2sinCcosA=2sinCsinA+2sinB．
即（$\sqrt{3}$+1）sinA+2sinCcosA=2sinCsinA+2sin（A+C），
则（$\sqrt{3}$+1）sinA+2sinCcosA=2sinCsinA+2sinAcosC+2cosAsinC，
则（$\sqrt{3}$+1）sinA=2sinCsinA+2sinAcosC，
即（$\sqrt{3}$+1）=2sinC+2cosC，
即（$\sqrt{3}$+1）²=4（sin²C+cos²C+2sinCcosC）
则4+2$\sqrt{3}$=4+4sin2C，
则sin2C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，
则2C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
则C=$\frac{π}{6}$或C=$\frac{π}{3}$．
（2）若C＜$\frac{π}{4}$，由（1）得C=$\frac{π}{6}$，
∵c=2（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），且△ABC的面积为4，
∴S=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$ab=4，
则ab=16，
∵c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{6}$=a²+b²-16$\sqrt{3}$，
∴4（8-4$\sqrt{3}$）=a²+b²-16$\sqrt{3}$，
即a²+b²=32，
则a=b=4．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及余弦定理进行化简，建立方程组关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．