Question

5．将边长为1的正方形AA₁O₁O（及其内部）绕OO₁旋转一周形成圆柱，如图，$\widehat{AC}$长为$\frac{2}{3}$π，$\widehat{A1B1}$长为$\frac{π}{3}$，其中B₁与C在平面AA₁O₁O的同侧．
（1）求三棱锥C-O₁A₁B₁的体积；
（2）求异面直线B₁C与AA₁所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结O₁B₁，推导出△O₁A₁B₁为正三角形，从而${S}_{△{O}_{1}{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由此能求出三棱锥C-O₁A₁B₁的体积．
（2）设点B₁在下底面圆周的射影为B，连结BB₁，则BB₁∥AA₁，∠BB₁C为直线B₁C与AA₁所成角（或补角），由此能求出直线B₁C与AA₁所成角大小．

解答 解：（1）连结O₁B₁，则∠O₁A₁B₁=∠A₁O₁B₁=$\frac{π}{3}$，
∴△O₁A₁B₁为正三角形，
∴${S}_{△{O}_{1}{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
${V}_{C-{O}_{1}{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×O{O}_{1}×{S}_{△{O}_{1}{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
（2）设点B₁在下底面圆周的射影为B，连结BB₁，则BB₁∥AA₁，
∴∠BB₁C为直线B₁C与AA₁所成角（或补角），
BB₁=AA₁=1，
连结BC、BO、OC，
∠AOB=∠A₁O₁B₁=$\frac{π}{3}$，$∠AOC=\frac{2π}{3}$，∴∠BOC=$\frac{π}{3}$，
∴△BOC为正三角形，
∴BC=BO=1，∴tan∠BB₁C=1，
∴直线B₁C与AA₁所成角大小为45°．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．