Question

20．无穷数列{a_n}由k个不同的数组成，S_n为{a_n}的前n项和，若对任意n∈N^*，S_n∈{2，3}，则k的最大值为4．

Answer 1

分析 对任意n∈N^*，S_n∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或-1，则k的最大个数为4．

解答 解：对任意n∈N^*，S_n∈{2，3}，可得
当n=1时，a₁=S₁=2或3；
若n=2，由S₂∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，-1；
若n=3，由S₃∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；
或2，1，0；或2，1，-1；或3，0，0；或3，0，-1；或3，1，0；或3，1，-1；
若n=4，由S₃∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；
或2，0，1，0；或2，0，1，-1；或2，1，0，0；或2，1，0，-1；
或2，1，-1，0；或2，1，-1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，-1；
或3，0，-1，0；或3，0，-1，1；或3，-1，0，0；或3，-1，0，1；
或3，-1，1，0；或3，-1，1，-1；
…
即有n＞4后一项都为0或1或-1，则k的最大个数为4，
不同的四个数均为2，0，1，-1，或3，0，1，-1．
故答案为：4．

点评 本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．