Question

7．设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）

• A． ①和②均为真命题
• B． ①和②均为假命题
• C． ①为真命题，②为假命题
• D． ①为假命题，②为真命题

Answer 1

分析 ①不成立．可举反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≤1}\\{-x+3，x＞1}\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+3，x≤0}\\{-x+3，0＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤0}\\{2x，x＞0}\end{array}\right.$．
②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．

解答 解：①不成立．可举反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≤1}\\{-x+3，x＞1}\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+3，x≤0}\\{-x+3，0＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤0}\\{2x，x＞0}\end{array}\right.$．
②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前两式作差可得：g（x）-h（x）=g（x+T）-h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．