Question

12．函数y=$\frac{sinx+2}{cosx-2}$的值域为[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．

Answer 1

分析 可以把函数理解为点（cosx，sinx）到点（2，-2）的直线斜率的范围，利用数形结合的思想，求得过点（2，-2）的直线与单位圆相切时直线的斜率，进而求得函数f（x）的值域．

解答 解：可以把函数理解为点（cosx，sinx）到点（2，-2）的直线斜率的范围，
而（cosx，sinx）的点的集合为以原点为圆心，半径为1的圆，如图：
当过点（2，-2）的直线的斜率不存在时，不与圆相切，
设此直线的方程为y+2=k（x-2），整理得y-kx+2k+2=0，①
圆的方程为x²+y²=1，②
圆心到直线的距离为$\frac{|2k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，整理求得k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$，
∴y=$\frac{sinx+2}{cosx-2}$的值域为[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．
故答案为：[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系，三角函数化简求值的问题．考查了学生转化与化归思想的运用．