Question

17．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且b₂=3，b₃=9，a₁=b₁，a₁₄=b₄．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求得c_n=a_n+b_n=2n-1+3^n-1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设{a_n}是公差为d的等差数列，
{b_n}是公比为q的等比数列，
由b₂=3，b₃=9，可得q=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$=3，
b_n=b₂q^n-2=3•3^n-2=3^n-1；
即有a₁=b₁=1，a₁₄=b₄=27，
则d=$\frac{{a}_{14}-{a}_{1}}{13}$=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）c_n=a_n+b_n=2n-1+3^n-1，
则数列{c_n}的前n项和为
（1+3+…+（2n-1））+（1+3+9+…+3^n-1）=$\frac{1}{2}$n•2n+$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=n²+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．