Question

5．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x-$\frac{π}{3}$）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．

Answer 1

分析 根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．

解答 解：∵对于任意实数x都有2sin（3x-$\frac{π}{3}$）=asin（bx+c），
∴必有|a|=2，
若a=2，则方程等价为sin（3x-$\frac{π}{3}$）=sin（bx+c），
则函数的周期相同，若b=3，此时C=$\frac{5π}{3}$，
若b=-3，则C=$\frac{4π}{3}$，
若a=-2，则方程等价为sin（3x-$\frac{π}{3}$）=-sin（bx+c）=sin（-bx-c），
若b=-3，则C=$\frac{π}{3}$，若b=3，则C=$\frac{2π}{3}$，
综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，$\frac{5π}{3}$），（2，-3，$\frac{4π}{3}$），（-2，-3，$\frac{π}{3}$），（-2，3，$\frac{2π}{3}$），
共有4组，
故答案为：4．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．