Question

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sin（A+$\frac{π}{3}$）=4sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB=$\sqrt{3}$sinC，a=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简已知的式子，由A的范围和特殊角的正弦值求出A；
（2）根据正弦化简后，由余弦定理列出方程求出a的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意得，sin（A+$\frac{π}{3}$）=4sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$，
∴sinAcos$\frac{π}{3}$+cosAsin$\frac{π}{3}$=2sinA，
∴$\frac{3}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=0，则$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）=0，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{6}$；
（2）∵sinB=$\sqrt{3}$sinC，∴b=$\sqrt{3}$c，
又a=1，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
∴1=3c²+c²-2$\sqrt{3}{c}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得c=1，则b=$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式，三角形的面积公式的应用，注意内角的范围以及边角的转化，属于中档题．