Question

1．已知ω=z+i（z∈C，i是虚数单位），且$\frac{z-2}{z+2}$为纯虚数，M=|ω+1|²+|ω-1|²，求M的最大值及取得最大值时ω的值．

Answer 1

分析 设出2，-2对应的点，z对应的点，则由$\frac{z-2}{z+2}$为纯虚数的充要条件是角AZB是直角列式，得到M=|ω+1|²+|ω-1|²=2（|w|²+1），由ω的轨迹得到|ω|的范围，从而求得MD的最大值即相应ω的值．

解答 解：设2在复平面上对应的点是A，-2对应B，z对应Z点
那么$\frac{z-2}{z+2}$为纯虚数的充要条件是角AZB是直角（z-2与z+2的辐角之差）
那么Z就在以AB为直径的圆上，也就是|z|=2，那么|w-i|=2
M=|ω+1|²+|ω-1|²=2（|w|²+1）
|ω|表示的是ω点到原点的距离，又ω的轨迹是以i为中心，2为半径的圆，它到原点的最大距离是3
也就是|ω|最大值是3，那么M最大值是20，此时ω=3i．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，考查了复数的几何意义，是中档题．