Question

6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，△F₁PF₂的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e=5．

Answer 1

分析 可设P为第一象限的点，由双曲线的定义和勾股定理，可得|PF₁|•|PF₂|=2b²，得到|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}+4{b}^{2}}$，由等积法和离心率公式，化简整理即可得到所求值．

解答 解：可设P为第一象限的点，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，①
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得PF₁⊥PF₂，
由勾股定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，②
②-①²，可得2|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²=4b²，
即有|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}+4{b}^{2}}$，
由三角形的面积公式可得$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，
即为2a（$\sqrt{4{c}^{2}+4{b}^{2}}$+2c）=2b²，
即有c+2a=$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$，两边平方可得
c²+4a²+4ac=c²+b²=c²+c²-a²，
即c²-4ac-5a²=0，解得c=5a（c=-a舍去），
即有e=$\frac{c}{a}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．