Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若|f（x）|+a≥ax，则a的取值范围是（　　）

• A． [-2，0]
• B． [-2，1]
• C． （-∞，-2]
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 由题意可得|f（x）|≥a（x-1），作出函数y=|f（x）|的图象和直线y=a（x-1），直线恒过定点（1，0），讨论a=0，a＜0时，直线与抛物线相切的条件：判别式为0，解方程可得a=-2，通过图象即可得到所求范围．

解答 解：|f（x）|+a≥ax即为|f（x）|≥a（x-1），
作出函数y=|f（x）|的图象和直线y=a（x-1），
直线恒过定点（1，0），
当a=0时，直线为y=0，即有y=|f（x）|的图象恒在直线的上方；
当a＜0，且直线和y=|f（x）|的图象相切时，
由y=a（x-1）和y=x²-4x+3（x＜1），联立，可得
x²-（4+a）x+3+a=0，由△=0，即（4+a）²-4（3+a）=0，
解得a=-2．
由图象即可得到-2≤a＜0．
综上可得a的范围是[-2，0]．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，同时考查直线和抛物线相切的条件：判别式为0，以及运算能力，属于中档题．