Question

19．若函数f（x）=x³-mx-1在R上存在三个零点，则实数m的取值范围是（$\frac{3}{\root{3}{4}}$，+∞）．

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值，令极大值大于0，极小值小于0即可求出m的范围．

解答 解：f′（x）=3x²-m，
（1）当m≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数，
∴f（x）在R上不可能有三个零点，
（2）当m＞0时，令f′（x）=0解得x=±$\sqrt{\frac{m}{3}}$，
当x＜-$\sqrt{\frac{m}{3}}$或x＞$\sqrt{\frac{m}{3}}$时f′（x）＞0，当-$\sqrt{\frac{m}{3}}$＜x＜$\sqrt{\frac{m}{3}}$时，f′（x）＜0，
∴当x=-$\sqrt{\frac{m}{3}}$时，f（x）取得极大值f（-$\sqrt{\frac{m}{3}}$）=$\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}$-1，
当x=$\sqrt{\frac{m}{3}}$时，f（x）取得极小值f（$\sqrt{\frac{m}{3}}$）=-$\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}$-1，
显然-$\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}$-1＜0，
∵f（x）在R上有3个零点，∴$\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}$-1＞0，
解得m＞$\frac{3}{\root{3}{4}}$．
故答案为（$\frac{3}{\root{3}{4}}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的极值与零点的关系，属于中档题．