Question

已知函数，．

(1)求在区间[t，t+1]上的最大值h(t)；

(2)是否存在实数，使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：()=－²+8=－(一4)²+16．

    当t+1<4，即t<3时，()在[t，t+1]上单调递增，

    h(t)=(t+1)

       =－(t+1)²+8(t+1)=－t²+6t+7；

    当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h(t)=(4)=16；

    当t>4时，()在[t，t+1]上单调递减，h(t)=(t)=－t²+8t．

    综上，

    (2)∵函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点，

     ∴令=，∴一=0，∵>0

     ∴函数的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点．

     ∵

            =

           =

当(0，1)时，>0，是增函数；

当(1，3)时，<0，是减函数；

当(3，+∞)时，>0，是增函数；

当=1或=3时，=0．

    ∴极大值==一7，极小值==

    ∵当→0⁺时，→－∞；

     当→+∞时，→+∞

∴要使=0有三个不同的正实数根，必须且只需

，

    ∴7<m<15―6ln3．

    所以存在实数m，使得函数与

    的图像有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7.15―6ln3)．