Question

16．设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）为不同的两点，圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
δ=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+D{x}_{1}+E{y}_{1}+F}{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+D{x}_{2}+E{y}_{2}+F}$．
以下命题中正确的序号为（1）（2）（3）（4）．
（1）不论δ为何值，点N都不在圆C上；
（2）若δ=1，则M、N在的同心圆上；
（3）若δ=-1，则线段MN与圆C相交，且MN的中点也在圆C上；
（4）若δ＞1，则线段MN的延长线与圆C相交．

Answer 1

分析 根据已知中圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0．δ=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+D{x}_{1}+E{y}_{1}+F}{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+D{x}_{2}+E{y}_{2}+F}$．逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：若N点在圆C上，则${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+D{x}_{2}+E{y}_{2}+F$=0，此时δ=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+D{x}_{1}+E{y}_{1}+F}{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+D{x}_{2}+E{y}_{2}+F}$无意义，故（1）不论δ为何值，点N都不在圆C上，正确；
（2）若δ=1，则M、N到圆心的距离相等，但不同在圆上，故MN在C的同心圆上，故正确；
（3）若δ=-1，则M、N一个在圆内一个在圆外，则线段MN与圆C相交，且MN的中点也在圆C上，故正确；
（4）若δ＞1，M、N在圆内，此时M点距离圆心更近，则线段MN的延长线与圆C相交，或M、N在圆内，此时N点距离圆心更近，则线段MN的延长线与圆C相交，故正确，
故答案为：（1）（2）（3）（4）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了平面上点与圆的位置关系，难度中档．