Question

【题目】已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点

求椭圆C的标准方程；

直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；

若，求直线AR的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】

（1）由准线方程得，由等边三角形得，联立解得，结合求得，得椭圆标准方程；

（2）设直线PB方程为，与椭圆方程联立可解得交点P的坐标，同时求得点M，F的坐标，计算即得；

（3）由，可得，即，设AP的方程为，代入椭圆方程求得P点坐标，把换成，可得Q点坐标，计算直线斜率表示为的函数，

可结合换元法和基本不等式求得此函数的函数值的范围．

椭圆的一条准线方程是，可得，

短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，

解得，，，

即有椭圆方程为；

证明：由，，

设直线PB的方程为，

联立椭圆方程，

可得，

解得或，

即有，

，，

则，

即为定值；

由，可得，即，

设AP的方程为，代入椭圆方程，

可得，

解得或，

即有，

将t换为可得，

则R的坐标为，

即有直线AR的斜率

，

可令，则，

则，

当时，，

当且仅当时上式取得等号，

同样当时，，

时，，，

则AR的斜率范围为