Question

已知a，b，c∈R，a²+b²+c²=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤

3

；
（Ⅱ）若不等式|x-1|+|x+1|≥（a-b+c）²对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,函数恒成立问题

专题：选作题,不等式

分析：（Ⅰ）利用柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²）=3；
（Ⅱ）同理，（a-b+c）²≤[1²+（-1）²+1²]（a²+b²+c²）=3，问题等价于|x-1|+|x+1|≥3．

解答： 解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²）=3
所以-

3

≤a+b+c≤

3

所以：|a+b+c|≤

3

；                  …（5分）
（Ⅱ）同理，（a-b+c）²≤[1²+（-1）²+1²]（a²+b²+c²）=3      …（7分）
若不等式|x-1|+|x+1|≥（a-b+c）²对一切实数a，b，c恒成立，
则|x-1|+|x+1|≥3，解集为（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）                 …（10分）

点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．