Question

已知x∈（0，

π

2

）且sinx＜x＜tanx，求sin（cosx）与cos（sinx）大小关系．

Answer 1

考点：三角函数线

专题：不等式的解法及应用

分析：先根据两角和公式和x的范围确定0＜sinx+cosx＜

π

2

，进而求得

π

2

＞

π

2

-sinx＞cosx＞0，最后根据正弦函数的单调性求得sin（cosx）与cos（sinx）大小关系．

解答： 解：sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈（0，

π

2

），
∴

π

4

x+

π

4

＜

3π

4

∴

2

2

＜sin（x+

π

4

）≤1，
∴1＜

2

sin（x+

π

4

）≤

2

＜

π

2

，
∴0＜sinx+cosx＜

π

2

π

2

＞

π

2

-sinx＞cosx＞0
∵y=sinx在（0，

π

2

）上单调增，
∴sinx（

π

2

-sinx）＞sin（cosx）
即cos（sinx）＞sin（cosx）．

点评：本题主要考查了三角函数的性质，解不等式的问题．解题的关键时利用放缩法确定

π

2

＞

π

2

-sinx＞cosx＞0．