Question

一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）为数表中第i行的第j个数．
（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；
（2）证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列；
（3）求f（i，1）关于i（i=1，2，…，n）的表达式．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：1）根据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，
（2）由已知，第一行是等差数列，若成等差数列求出公差d即可．
（3）根据条件建立方程关系即可求出f（i，1）的表达式．

解答： 解：（1）f（2，j）=f（1，j）+f（1，j+1）=2f（1，j）+4=8j+4（j=1，2，…，n-1），f（3，j）=f（2，j）+f（2，j+1）=2f（2，j）+8=2（8j+4）+8=16j+16（j=1，2，…，n-2）
（2）由已知，第一行是等差数列，
假设第i（1≤i≤n-3）行是以d_i为公差的等差数列，则由f（i+1，j+1）-f（i+1，j）=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]=f（i，j+2）-f（i，j）=2d_i（常数）
知第i+1（1≤i≤n-3）行的数也依次成等差数列，且其公差为2d_i．
综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列
（3）由于d₁=4，d_i=2d_i-1（i≥2），所以di=4•2i-1=2i+1，
所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+d_i-1，
由di-1=2i得f（i，1）=2f（i-1，1）+2ⁱ，
于是

f(i，1)

2i

=

f(i-1，1)

2i-1

+1，即

f(i，1)

2i

-

f(i-1，1)

2i-1

=1，
又因为

f(1，1)

21

=

4

2

=2，所以，数列{

f(i，1)

2i

}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，

f(i，1)

2i

=2+(i-1)=i+1，所以f（i，1）=（i+1）•2ⁱ（i=1，2，…n）

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．