Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，
∵椭圆的离心率为，
∴a²=4b²，
又∵M（4，1），
∴，解得b²=5，a²=20，故椭圆方程为．…（4分）
（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得
5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5．…（7分）
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，只要证明k₁+k₂=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：．

上式的分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=
所以k₁+k₂=0，得直线MA，MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（12分）
分析：（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a²=4b²，再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b²=5，a²=20，从而得出椭圆的方程；
（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得-5＜m＜5；
（III）设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），对（II）的方程利用根与系数的关系得：．再计算出直线MA的斜率k₁=，MB的斜率为k₂=，将式子K₁+K₂通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k₁+k₂=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于难题．解题时注意设而不求和转化化归等常用思想的运用，本题的综合性较强对运算的要求很高．