Question

【题目】如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，，．

（1）求证：平面ABF；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

(1)因为平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面,进而得到，又，根据线面垂直的判定定理即可证出；

(2)以为原点所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系,分别求出平面和平面的法向量，用向量法即可求出二面角的正弦值．

(1)因为平面平面，其中四边形为矩形，

所以，平面,平面平面，

所以平面,又平面，

所以，又，，平面，

所以平面，

(2) 由(1)知，平面，平面，所以，

以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系．

在梯形中，作，垂足为，则，

，所以,

则，，，，

所以，，设平面的一个法向量为，

则由 ，即，取，得，

所以，

由(1)知，平面，所以可取平面的一个法向量，

所以，

设二面角的大小，则

，

即二面角的正弦值．