Question

【题目】已知点与两个定点距离的比是一个正数.

（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）当时得曲线的方程，把曲线向左平移三个单位长度得到曲线，已知点，，点是曲线上任意一点,求的最小值；

（3）若直线与曲线交于C、D两点，点是x轴上的点，使得恒为定值，求点P的坐标和定值.

Answer 1

【答案】（1）当时，，此时轨迹为轴所在的直线；

当时，可得：，此时轨迹为以为圆心，为半径的圆;

（2）;（3）点P的坐标,定值为.

【解析】

（1）由题意得：, 对其化简，分与进行讨论可得答案；

（2）代入可得曲线的方程，由题意可得曲线的方程，点的坐标为，可得与，由平面向量和三角函数知识，可得的最小值；

（3）设C、D两点坐标，，即，，联立直线与圆，用与表示，由恒为定值，可得的值，可得答案.

解：（1）由题意得：，

化简可得：，

当时，，此时轨迹为轴所在的直线；

当时，可得：，

此时轨迹为以为圆心，为半径的圆;

（2）时，可得曲线的方程为：，

由曲线向左平移三个单位长度得到曲线，可得的方程为：，

点的坐标为，由点，，

可得，，

故可得：

，其中，

可得的最小值为：；

（3）由（2）可得曲线的方程为：，

由直线与曲线交于C、D两点，设C、D两点坐标，，

即，，

联立直线与圆，可得

可得：，，

由点，可得，,

可得：，

可得，

由恒为定值，故与的值无关，故可得

点P的坐标,定值为.