Question

【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（1）求证：AG∥平面PEC；

（2）求AE的长；

（3）求二面角E—PC—A的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析．（2）（3）．

【解析】

试题解（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，

又PD⊥AG

∴AG⊥平面PCD

作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD，

∴EF∥AG

又AG面PEC，EF面PEC，

∴AG∥平面PEC

（2）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD，

∴AE∥平面PCD．

∴AE∥GF．

∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF．

∵PA＝3，AB＝4，∴PD＝5，AG＝，

又PA2＝PGPD，∴PG

又，∴，∴

（3）过E作EO⊥AC于点O，易知EO⊥平面PAC，

又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E—PC—A的平面角

，

又EF＝AG

∴