Question

1．在直角坐标系xOy中，B（-1，0），C（1，0），动点A满足$\frac{|AB|}{|AC|}$=m（m＞0且m≠1）．
（1）求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）若m=$\sqrt{3}$，点P为动点A的轨迹曲线上的任意一点，过点P作圆：x²+（y-2）²=1的切线，切点为Q．试探究平面内是否存在定点R，使$\frac{|PQ|}{|PR|}$为定值，若存在，请求出点R的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据动点A满足$\frac{|AB|}{|AC|}$=m，根据两点间的距离公式，化简即可得到圆A的方程；
（2）设P，R的坐标，利用直线和圆相切，建立方程关系，进行判断．

解答 解：（1）设A（x，y），∵动点A满足$\frac{|AB|}{|AC|}$=m（m＞0且m≠1）．
∴$\frac{\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=m
化简得动点的轨迹方程为：（x-$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}$）²+y²=$\frac{4{m}^{2}}{（{m}^{2}-1）^{2}}$
表示以（$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}$，0）为圆心，$\frac{2m}{|{m}^{2}-1|}$为半径的圆．
（2）由（1）当m=$\sqrt{3}$时，动点A的轨迹方程为：（x-2）²+y²=3，
设P（x，y）
∴x²+y²=4x-1
假设在平面内存在点R（a，b）使得$\frac{|PQ|}{|PR|}$=λ（其中λ为正常数）
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}-1}}{\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}}$=λ
化简得：x²+y²-4y+3=λ²（x²+y²）-2aλ²x-2bλ²y+λ²（a²+b²），
∵x²+y²=4x-1，
∴4x-4y+2=λ²（4-2a）x-2bλ²y+λ²（a²+b²-1），
对于任意满足（x-2）²+y²=3的P（x，y）恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}（4-2a）=4}\\{2b{λ}^{2}=4}\\{{λ}^{2}（{a}^{2}+{b}^{2}-1）=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{λ=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{λ=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$
∴存在点R（1，1）或（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）满足题意

点评 本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，以及直线与圆的位置关系应用，考查学生的运算能力．