Question

20．已知等差数列{a_n}满足a₃+a₆=-$\frac{1}{3}$，a₁a₈=-$\frac{4}{3}$且a₁＞a₈．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的第1项、第4项、第7项、…、第3n-2项、…分别作为数列{b_n}的第1项、第2项、第3项、…、第n项、…，求数列{2${\;}^{{b}_{n}}$}的所有项之和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与性质即可得出．
（2）利用等比数列的定义通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，a₃+a₆=-$\frac{1}{3}$=a₁a₈，a₁a₈=-$\frac{4}{3}$且a₁＞a₈．
解得：a₁=1，a₈=-$\frac{4}{3}$，公差d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{1}}{7}$=-$\frac{1}{3}$．
∴a_n=1-$\frac{1}{3}$（n-1）=-$\frac{1}{3}$n+$\frac{4}{3}$．
（2）b₁=a₁=1，b₂=a₄=0，
∴b_n=a_3n-2=-$\frac{1}{3}（3n-2）$+$\frac{4}{3}$=-n+2，
∴$\frac{{2}^{{b}_{n+1}}}{{2}^{{b}_{n}}}$=$\frac{{2}^{-（n+1）+2}}{{2}^{-n+2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\{{2}^{{b}_{n}}\}$是首项为2，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴$\{{2}^{{b}_{n}}\}$的所有项的和为$\frac{2}{1-\frac{1}{2}}$=4．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．