Question

5．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，上底面是斜边为AC的直角三角形，E、F分别是A₁B、AC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

分析 （1）证明EF∥BC，由此证明EF∥平面ABC；
（2）证明BB₁⊥EF，且EF⊥AB，得出EF⊥平面AA₁B₁B，从而证明平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

解答 证明：（1）连接A₁C，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是矩形，
所以点F在A₁C上，且F为A₁C的中点，
在△A₁BC中，E、F分别是A₁B、AC₁的中点，
所以EF∥BC；
又EF?平面ABC，BC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC；
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
所以BB₁⊥BC，
因为EF∥BC，
所以BB₁⊥EF；
又底面是斜边为AC的直角三角形，故AB⊥BC，
所以EF⊥AB，
又BB₁∩AB=B，
所以EF⊥平面AA₁B₁B，
又EF?平面AEF，
所以平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了逻辑推理与空间想象能力，是综合性题目．