Question

9．函数f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$的单调递增区间是（-$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ），k∈Z．

Answer 1

分析 首先，确定该函数的定义域，然后，求解导函数，令导函数大于零，求解其单调增区间．

解答 解：∵2+cosx≠0，
∴函数的定义域为R，
∵f′（x）=$\frac{cosx（2+cosx）-sinx（0-sinx）}{（2+cosx）^{2}}$
=$\frac{1+2cosx}{（2+cosx）^{2}}$，
令f′（x）＞0，
∴1+2cosx＞0，
∴cosx＞-$\frac{1}{2}$，
∴x∈（-$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ），k∈Z，
∴函数f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$的单调递增区间是（-$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ），k∈Z，
故答案为：（-$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ），k∈Z，

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、函数的导数运算等知识，属于中档题．