Question

19．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过点A（a，0）与B（0，-b）的直线与原点的距离为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，又有直线y=$\frac{1}{2}$x与椭圆C交于D、E两点，过D点作斜率为k的直线l₁与椭圆C的另一个交点为P，与直线x=4的交点为Q，过Q点作直线EP的垂线l₂．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线l₂恒过一定点．

Answer 1

分析 （1）过点A（a，0）与B（0，-b）的直线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{-b}=1$．根据此直线与原点的距离为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，可得$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+（-a）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{8{a}^{2}+8{b}^{2}=5{a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得D（-2，-1），E（2，1）．可得直线l₁的方程为：y+1=k（x+2），与x=4联立可得Q（4，6k-1）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，利用根与系数的关系可得：P$（\frac{-8{k}^{2}+8k+2}{1+4{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}+4k-1}{1+4{k}^{2}}）$，可得k_EP=-$\frac{1}{4k}$．利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得${k}_{{l}_{2}}$=4k．直线l₂的方程为：y-（6k-1）=4k（x-4），利用直线系即可得出此直线过定点．

解答 （1）解：过点A（a，0）与B（0，-b）的直线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{-b}=1$，化为bx-ay-ab=0．
∵此直线与原点的距离为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，∴$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+（-a）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，化为8a²+8b²=5a²b²．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{8{a}^{2}+8{b}^{2}=5{a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得b²=2，a²=8，$c=\sqrt{6}$．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）证明：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴D（-2，-1），E（2，1）．
∴直线l₁的方程为：y+1=k（x+2），
把x=4代入可得y=6k-1，∴Q（4，6k-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化为（1+4k²）x²+（16k²-8k）x+16k²-16k-4=0，
则-2×x_P=$\frac{16{k}^{2}-16k-4}{1+4{k}^{2}}$，解得x_P=$\frac{-8{k}^{2}+8k+2}{1+4{k}^{2}}$，y_P=$\frac{4{k}^{2}+4k-1}{1+4{k}^{2}}$．
解得P$（\frac{-8{k}^{2}+8k+2}{1+4{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}+4k-1}{1+4{k}^{2}}）$，
∴k_EP=$\frac{\frac{4{k}^{2}+4k-1}{1+4{k}^{2}}-1}{\frac{-8{k}^{2}+8k+2}{1+4{k}^{2}}-2}$=-$\frac{1}{4k}$．
∴${k}_{{l}_{2}}$=4k．
∴直线l₂的方程为：y-（6k-1）=4k（x-4），
化为k（4x-10）-（y+1）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{4x-10=0}\\{y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{5}{2}$，y=-1．
∴直线l₂恒过一定点$（\frac{5}{2}，-1）$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线系的应用、点到直线的距离公式，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．