Question

4．（1）已知f（$\frac{1+x}{x}$）=$\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，求f（x）的解析式．
（2）已知函数f（x）满足f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=x，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）已知解析式变形为f（1+$\frac{1}{x}$）=（1+$\frac{1}{x}$）²-（1+$\frac{1}{x}$）+1，用x替换式中的1+$\frac{1}{x}$可得f（x）的解析式；
（2）由f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=x可得f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=$\frac{1}{x}$，联立消去f（$\frac{1}{x}$）可得f（x）．

解答 解：（1）f（$\frac{1+x}{x}$）=$\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$可化为f（1+$\frac{1}{x}$）=1+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即f（1+$\frac{1}{x}$）=（1+$\frac{1}{x}$）²-（1+$\frac{1}{x}$）+1，
∴f（x）的解析式为f（x）=x²-x+1；
（2）∵f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=x，∴f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=$\frac{1}{x}$，
联立消去f（$\frac{1}{x}$）可得f（x）=-$\frac{x}{3}$-$\frac{2}{3x}$，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=-$\frac{x}{3}$-$\frac{2}{3x}$．

点评 本题考查函数解析式求解的配凑法和方程组的方法，属中档题．