Question

15．已知实数x，y满足5$\sqrt{（{x-3）}^{2}+{y}^{2}}$=25-3x，x+y的最大值与最小值．

Answer 1

分析 可将原方程化简整理，可得椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，运用参数方程，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最值．

解答 解：5$\sqrt{（{x-3）}^{2}+{y}^{2}}$=25-3x，
即有$\sqrt{（{x-3）}^{2}+{y}^{2}}$=5-$\frac{3}{5}$x，
两边平方可得，x²-6x+9+y²=25+$\frac{9}{25}$x²-6x，
化简可得$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
即有方程表示焦点在x轴上的椭圆，
可设x=5cosα，y=4sinα，
则x+y=5cosα+4sinα=$\sqrt{41}$sin（α+θ）（θ为辅助角），
当α+θ=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z时，x+y取得最大值$\sqrt{41}$；
当α+θ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z时，x+y取得最小值-$\sqrt{41}$．

点评 本题考查方程的化简和几何意义，考查椭圆的参数方程的应用：求最值，考查运算能力，属于中档题．