Question

（2012•福建）已知函数f（x）=e^x+ax²-ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）=e^x-e＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；
（Ⅱ）设点P（x₀，f（x₀）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），令g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）-f（x₀），曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P等价于g（x）有唯一零点，求出导函数，再进行分类讨论：（1）若a≥0，g（x）只有唯一零点x=x₀，由P的任意性a≥0不合题意；（2）若a＜0，令h（x）=ex-ex0+2a(x-x0)，则h（x₀）=0，h′（x）=e^x+2a，可得函数的单调性，进而可研究g（x）的零点，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=e^x+2ax-e
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e
令f′（x）=e^x-e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，1），单调增区间为（1，+∞）
（Ⅱ）设点P（x₀，f（x₀）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）
令g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）-f（x₀）
∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点
∵g（x₀）=0，g′（x）=ex-ex0+2a(x-x0)
（1）若a≥0，当x＞x₀时，g′（x）＞0，∴x＞x₀时，g（x）＞g（x₀）=0
当x＜x₀时，g′（x）＜0，∴x＜x₀时，g（x）＞g（x₀）=0，故g（x）只有唯一零点x=x₀，由P的任意性a≥0不合题意；
（2）若a＜0，令h（x）=ex-ex0+2a(x-x0)，则h（x₀）=0，h′（x）=e^x+2a
令h′（x）=0，则x=ln（-2a），∴x∈（-∞，ln（-2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（-2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；
①若x₀=ln（-2a），由x∈（-∞，ln（-2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（-2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增
∴g（x）只有唯一零点x=x₀；
②若x₀＞ln（-2a），由x∈（ln（-2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x₀）=0，则当x∈（ln（-2a），x₀），g′（x）＜0，g（x）＞
g（x₀）=0
任取x₁∈（ln（-2a），x₀），g（x₁）＞0，
∵x∈（-∞，x₁），∴g（x）＜ax²+bx+c，其中b=-e+f′（x₀）．c=ex1-f(x0)+x0f′(x0)
∵a＜0，∴必存在x₂＜x₁，使得ax22+bx2+c＜0
∴g（x₂）＜0，故g（x）在（x₂，x₁）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；
③若x₀＜ln（-2a），同理利用ex＞

x3

6

，可得g（x）在R上至少有两个零点；
综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（-2a），f（ln（-2a）））．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于难题．