Question

（2012•福建）已知函数f(x)=axsinx-

3

2

(a∈R)，且在[0，

π

2

]上的最大值为

π-3

2

，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）由题意，可借助导数研究函数f(x)=axsinx-

3

2

(a∈R)，在[0，

π

2

]上的单调性，确定出最值，令最值等于

π-3

2

，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；
（II）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．

解答：解：（I）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），对于任意的x∈（0，

π

2

），有sinx+xcosx＞0，当a=0时，f（x）=-

3

2

，不合题意；
当a＜0时，x∈（0，

π

2

），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，

π

2

）单调递减，
又函数f(x)=axsinx-

3

2

(a∈R)在[0，

π

2

]上图象是连续不断的，故函数在[0，

π

2

]上上的最大值为f（0）=-

3

2

，不合题意；
当a＞0时，x∈（0，

π

2

），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，

π

2

）单调递增，
又函数f(x)=axsinx-

3

2

(a∈R)在[0，

π

2

]上图象是连续不断的，故函数在[0，

π

2

]上上的最大值为f（

π

2

）=

π

2

a-

3

2

=

π-3

2

，解得a=1，
综上所述，得f(x)=xsinx-

3

2

（II）函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．证明如下：
由（I）知，f(x)=xsinx-

3

2

，从而有f（0）=-

3

2

＜0，f（

π

2

）=

π-3

2

＞0，
又函数在[0，

π

2

]上图象是连续不断的，所以函数f（x）在（0，

π

2

）内至少存在一个零点，
又由（I）知f（x）在（0，

π

2

）单调递增，故函数f（x）在（0，

π

2

）内仅有一个零点．
当x∈[

π

2

，π]时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，由g（

π

2

）=1＞0，g（π）=-π＜0，且g（x）在[

π

2

，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈（

π

2

，π），使得g（m）=0．
由g′（x）=cosx-xsinx，知x∈（

π

2

，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[

π

2

，π]上单调递减．
当x∈（

π

2

，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（

π

2

，m）内单调递增
故当x∈（

π

2

，m）时，f（x）＞f（

π

2

）=

π-3

2

＞0，从而（x）在（

π

2

，m）内无零点；
当x∈（m，π）时，有g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，从而f（x）在（

π

2

，m）内单调递减．
又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点．
综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，研究函数的单调性，及函数零点的判定定理，解题的关键是利用导数这个工具研究清楚函数的单调性，本题考察了转化的思想方法及判断推理的能力，是高考中常见的题型，必考题，学习时要悉心掌握此类题的解题规律