Question

【题目】如图四棱柱中，，，，M为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若四边形是菱形，且面面，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点N，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，进一步可证平面；

（2）证明，，两两垂直后，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果.

（1）取的中点N，连接，，

∵M为的中点，∴且

又， ，所以且，

所以四边形是平行四边形，

从而，又平面，平面，

所以平面.

（2）取的中点P，连接，，

∵四边形为菱形，又，易知.

又面面，面面，

∴平面，

故，，两两垂直

以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），不妨设.

则，，，，，，

，，

设平面的法向量为，

由，得，

可得平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

由，得，

可得平面的一个法向量.

∴

所以二面角的余弦值为.