Question

下列函数中，最小正周期是π的函数是（　　）

• A．f（x）=sinx+cosx
• B．f(x)=|tan

  x

  2

  |
• C．f（x）=|sin2x|
• D．f(x)=sin(x+

  π

  3

  )cosx

Answer 1

分析：判断这四个函数的最小正周期，需要逐一分析．A、D选项用三角函数对应的公式化为y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的形式．C与B选项用函数的图象的性质，求出四个函数的周期，得到结果．

解答：解：对于A，f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），其最小正周期T=2π；
对于B，f（x）=f(x)=|tan

x

2

|，先去掉绝对值，利用正切的周期公式得到f（x）=tan

x

2

，其最小正周期T=2π；
加上绝对值后周期仍然是2π；
对于C，y=|sin2x|，y=sin2x的周期是π，加上绝对值以后周期为

π

2

对于D，f(x)=sin(x+

π

3

)cosx=（

1

2

sinx+

3

2

cosx）cosx=

1

2

sin2x+

3

2

×

cos2x+1

2

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x+

3

4

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

π

4

，
∴函数的周期是T=

2π

2

=π
综上可知只有D选项的函数的周期是π
故选D．

点评：本题考查三角函数最小正周期的求法．根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T=

2π

ω

，正切型最小正周期为T=

π

ω

，初次之外可以用图象法，定义法，公倍数法，对于具体问题得具体分析．求三角函数的周期，要注意函数的三角变换，得到可以利用三角函数的周期公式来求解的形式，本题是一个中档题目．