Question

已知f（x）=log₃

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），是否存在实数a、b，使f（x）同时满足下列两个条件：
（1）f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
（2）f（x）的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：法一：设g（x）=

x2+ax+b

x

，由f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数可知g（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，再由f（x）的最小值是1可知

g′(1)=0 g(1)=3

，据此可以求出两个条件的实数a和b．
法二：因为底数3＞1，故原函数的单调性与 u=

1

x

（x²^2+ax+b）的单调性相同，（x＞0），u=x+

b

x

+a．当b=0时，u=x+a是增函数，与题意不符当b＜0时，u=x+

b

x

+a也是增函数，也不符．故b＞0．由此能求出a=1，b=1．

解答：解法一：存在实数a、b，使f（x）同时满足两个条件．具体求解过程如下：
设g（x）=

x2+ax+b

x

，
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
∴g（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
∴

g′(1)=0 g(1)=3

，∴

b-1=0 a+b+1=3

，解得

a=1 b=1

经检验，a=1，b=1时，f（x）满足题设的两个条件．
解法二：因为底数3＞1
故原函数的单调性与 u=

1

x

（x²^2+ax+b）的单调性相同，（x＞0）
u=x+

b

x

+a
当b=0时，u=x+a是增函数，与题意不符
当b＜0时，u=x+

b

x

+a也是增函数，也不符
故b＞0
u=x+

b

x

+a≥2

b

+a（当且仅当x=

b

时取等号）
该函数在（0，

b

）减，在（

b

，+∞）增
故：

b

=1，b=1
f（x）的最小值是log₃（2

b

+a）=1
a+2=3，a=1
综上：a=1，b=1．

点评：求解存在性问题时，要注意挖掘题设中的隐含条件，从而建立起适当的方程或方程组，使问题得以解决．